ロジスティック 写像 分岐図 python 4

ここで $w_1,w_2,w_3$は 重み と呼ばれるパラメータを指します。, この図で、赤の線は c=1とc=0(黒と白)を上手く分離してない感が凄いですよね。 この場合どうなるでしょうか?, だいぶ結果が変わりました。 ''', 'plot with split line before/after optimization', http://qiita.com/hik0107/items/ef5e044d2f47940ba712, http://qiita.com/hik0107/items/f9bf14a7575d5c885a16, http://gihyo.jp/dev/serial/01/machine-learning/0018, ロジスティック回帰ならもちろん使ったことあるよ?パッケージで一発じゃん。 重み $(w_1,w_2,w_3)$ が $(5:3:-1)$ に近い関係になっているのがわかるでしょうか?, draw_split_line()で線を引いてやると下図のようになります。 A. 今まで使ってきたロジスティック写像は、だった。このグラフのクモの巣図法とフィードバックループを回したときの関数出力値の変化は下のグラフのようになっており、初期値0.2からはじめると最終的に0.5に収束していた。, 上の図を描くPythonプログラム。matplotlibのsubplotを使うと2つのグラフを表示できて便利!, これを拡張してロジスティック写像の族 を考えるとすごく面白いことが起きる。まず、a = 3.3として初期値を0.2、0.5、0.9と変えてクモの巣図法を描いてみた(上のaとinitialを変えるだけ)。, 初期値によって収束の速さは違うけど最終的に {0.4794, 0.8236} の2つの点の周期的な軌道をとることがわかる。次に、a = 3.5としてみた(初期値は0.2で固定)。, 今度は、{0.3828, 0.8269, 0.5009, 0.8750} の4つの点の周期的な軌道をとることがわかる。次は、a = 4.0としてみた。, 最後に、パラメータaを横軸にとってそのときの周期的な軌道が取る値(さっきの {0.3828, 0.8269, 0.5009, 0.8750} など)を縦軸にとったグラフを描いてみる。これが有名なロジスティック写像の分岐図。Pythonを使ってちょっと書いてみよう。カオス 第1巻 - 力学系入門によると下のような手順で描くとのこと。, (4) で101回目からプロットするのは、軌道が収束するのを待っているのだろう。Pythonで描いてみた(Pythonの画像ライブラリPILが必要)。, 一番左端がa = 1.0、右端がa = 4.0を意味する。図1.7 (a)にあるようにa = [3.4, 4.0]の部分に拡大してみる(上のプログラムのa1とa2を変えるだけ)と, 真ん中よりちょっと右寄りのところに大きな空白地帯があることに気づく。その部分(a = [3.82, 3.86])をさらに拡大してみると・・・, でたらめな周期を取っていた軌道が3周期の軌道に落ち着く箇所がある。この部分は「カオスの窓」と呼ばれるそうだ。何かぴったりの名前だね。あと上の2枚の画像を比べるとわかるように拡大したカオスの窓の部分にも1枚目に示した全体と同じように倍分岐していく様子が見え、小さなカオスの窓もある。これは、部分と全体が自己相似するフラクタルの例になっている。この事実を初めて発見した人はさぞかし興奮しただろうなー。うらやましい。, 分岐図については、ストレンジアトラクタ(2006/3/25)でも描いたことがある。前はJavaだったけど、今回はPythonを使ってみました。, aidiaryさんは、はてなブログを使っています。あなたもはてなブログをはじめてみませんか?, Powered by Hatena Blog なぜかというと、上の周期4の図を見てください。初めの方は値がばらつくために、いろいろな線が出ています。あとのほうだけをとればはっきり周期性がわかります。(これも 「ロジスティック写像リターンマップを作る」で実験しています ) http://qiita.com/hik0107/items/f9bf14a7575d5c885a16, あとこちらの記事でロジスティック回帰の概要だけ勉強するとより良いかも ループ回数とかは綺麗な感じに描画したくて調整した感じです。 ロジスティック写像のような1次元の区間力学系が生み出すカオスは、特に1次元カオスと呼ばれる 。 a c < a < 4 の範囲で分岐図を見ると、例えば a = 3.8 などでは1つの区間内に軌道が収まっているが、a … 紛れ込む量はconfuse_binが小さくなるほど大きくなるように設定してあります。 この関数をOptimizerに喰わせてパラメータの最尤推定を行う 実際のデータでは、こんなにキレイにcの値が別れることはないでしょう。, そこで、もう少し複雑性の高いデータでやってみます。 「ロジスティック写像の時系列」に引続きカオスを生む簡単な写像であるロジスティック写像 x n+1 =ax n (1-x n) (ただし、2 < a < 4) を考えます。この写像はパラメータ a の値、および初期値 x 0 によってカオスを含む様々な系列 x n を生み出すのでした。 Sign in|Recent Site Activity|Report Abuse|Print Page|Powered By Google Sites, --------------------------------------------------------------------------, 右側の図はちょっと読みにくいですね。数値は確かに4周期を示していますが。このあたりの詳細も「, 今までは、a=3.2やa=3.5でした。初期値は x1=0.2 でしたが、x1=0.3 としても実は同じ結果になります。同じ結果という意味は、初期値が異ってもずっと先の方に行くと同じ値に収束したり、周期性を示したりするということです。, リターンマップで実験したように、a=1までは0に収束し、1から3まではある値に収束します。前述のように、はじめの100個はパスしていますので、線が1本ということは値が一つ、つまりある値に収束しているということです。3を超えたところで2つに分岐しますね。これは2周期になっているということです。さらに4周期になり、8周期になり・・カオスになります。ただ、しばらくいくと、白く抜けるとことがあります。これを「窓」といっていますが、ここでは3周期になっています。なお、「カオスになる」というのは、「収束しない」「初期値鋭敏性がある」ということなのですが、数学的にはリー・ヨークの定理とそれによる証明をすることになります。. 自己相似性を持つ図形のこと. dpx3/dt = -2*G*m3*x3(m4*(r34)**-1.5 + m5*(r35)**-1.5) 実はこれ, 本当に正しい解ではないんです. 少しややこしいですが, 処理のメインはほんの一部で残りはパラメータの設定だけです. キツい場合は差分化を緩めてください. pがどんな感じになっているか見てみましょう。, 分離面を堺に、c=1である確率p(右図の青さの度合い)がくっきり分かれているのがわかります。 """, you can read useful information later efficiently. '''N個のデータセットを生成する関数 dpy3/dt = -2*G*m3*y3(m4*(r34)**-1.5 + m5*(r35)**-1.5) この質点たちの動きを数値計算で追ってみましょう. apply(0..4,drawtext([#-0.02,-0.07],#,size->16)); 17世紀に始まった人口の増加率に関する問題について、18世紀のマルサスの研究を経て、19世紀になってベルハルストが次のように定式化しました。, という形になります。このあたりの詳細は、山口昌哉著の「カオスとフラクタル」(1986年ブルーバックス、2010年ちくま学芸文庫)に書かれています。この解のグラフを描くと次のようになります。これをロジスティック曲線といいます。Scriptは簡単ですので、係数をいろいろ変えて表示してみましょう。, なお、ウィキペディアの「ロジスティック式」の項ではこれと少し違う式になっています。, このロジスティック方程式については1940年代の内田俊郎、森下正明(ともに京都大学)らの研究を経て、1973年のロバート・メイの式に至るのです。1970年代は電卓がポケットサイズとなり普及した時期です。, 微分方程式を次のようにして近似化することを差分化といい、それによって得られる式を差分方程式といいます。, まず、微分の定義を思い出してください。xがtの関数であるとき、微小な変化量Δt、Δxを用いると, さて、伊藤氏のページにある、ロジスティック写像のリターンマップ、分岐図について考えていきましょう。「カオスを概観する」でロジスティック写像として示した2つの図です。, 0.1  0.09  0.0819  0.0752 ・・・ となっていき、ある値に収束します。, -------------------------------------------------------------------------, aと最初のxの値をいろいろ変えてみると、数の変化がわかります。repeat の回数を増やせばわかりやすいかもしれません。, 0.7995  0.513 ・・・ となり、2つの値を繰り返します。この状態を「周期が2である」といいます。, さらに、a=3.5  x=0.2 のときは、はじめのうちはばらばらに見えますが、repeatの回数を50くらいすると、4つの値が繰り返されるようになります。「周期が4」となるのです。(実際に試してください), さて、数値の並びだけではわかりにくいので、これを図で表すことにします。それがリターンマップです。, ポイントは、あるxの値から次の値を図形的にどう取るかということなのですが、ここで直線 y=x がうまい役割をします。, ここから横に線を引いて、直線 y=x との交点を求めると、そのx座標が f(x1) となります。これが x2です。, すなわち、x軸上のx1から出発して、放物線->直線->x軸 と戻ってくれば次の値をx軸上に求めることができるわけです。, さて、次の図は先ほど示した、周期が2,4になるときの図です。周期性の意味が図から読み取れるでしょうか。, (この図では、上図に加えて、x1,x2,x3・・・の点列を緑の点でx軸上に示しています。), ところが、a=3.57・・・ を超えると、初期値によって値の動きはまったく異なるものとなるのです。(これもやってみましょう)これを「初期値鋭敏性」と言います。そして、a=4に十分近いとき、カオスになるのです。このことは、次の「ロジスティック写像の分岐図」で見てみることにしましょう。, aの値によって、xの値は収束したり、周期的になったりします。この様子を次のように図(グラフ)にします。, 今度のグラフは、横軸にaの値、縦軸にxの値を取ります。そして、各aの値に対する点列 x1,x2,x3,・・・・ をプロットしていくわけですが初めの方は省略します。なぜかというと、上の周期4の図を見てください。初めの方は値がばらつくために、いろいろな線が出ています。あとのほうだけをとればはっきり周期性がわかります。(これも, このようにして作ったのが次の図です。この図では、はじめの100個をパスしてあとの100個を表示しています。aの値は0から4まで、4000等分しています。. 環境 Windows10 + Anaconda 4.8.1 + Python 3.7.6 + gnuplot 5.2(patchlevel 8) はじめに 結果 ソースコード Gnuplotを使った他の記事 はじめに Pythonでロジスティック写像を計算し、Gnuplotを使って分岐図を描いてみた。Wikipedia… コードとしては次のような感じです。 カオスと分岐 非線形システム特論2004 池口徹 埼玉大学大学院理工学研究科情報数理科学専攻 338–8570 さいたま市桜区下大久保255 Tel : 048–858–3577, Fax : 048–858–3716 これから実装するLogistic回帰モデルがこの分離線を予測することができれば成功です。, このように引数を指定すると、白点の領域に黒点を紛れ込ませることが出来ます。 最後のトリです. データをわざと複雑にするための機能 is_confusedを実装する Pythonでロジスティック写像をかきかき. まぁ、こんな感じの簡単なコードで次のような感じのグラフが表示されます。. 勝手に$log$とかしたら式の意味が変わるじゃねーか。あとマイナスは何だよ ②その3つの合算を考えれば 非周期的であるという意味でカオス的ではありますが, 初期値鋭敏性は特に見られませんでした. 一番の特徴が「初期値鋭敏性」というもので, 初期値をほんのちょっと変えただけで全く異なる軌道を描きます. 詳しくは『最尤推定 さいゆーすいてー 』でググって下さい, Q. Mandelbrotよりさらにシンプルですね. です. カオスを数値計算で見た世界で初めての例だった気がします. 気になる方は1000データ全て確認してみてください。, また、確率値pが求められています。 なぜズレるのかというと, 質点同士の位置が重なると引力が発散してしまうので, そういう点で数値計算では誤差が積み重なってしまうからです. "p"はc=1である確率の予測値です。, 実際のcの値とpredの値が一致しているので、予測が成功というところでしょうか。 $p_3$は $正解:c=0$に対して、0.2と予測しているので、(1.0-0.2)=0.8ポイント, 合計の得点は 0.8, 0.6, 0.8を 掛けあわせたもの とする。 Mandelbrot集合はフラクタル集合です. 仮に分離線を $ 5x + 3 y = 1 $ としましょう。 Twitter ⇛ https://twitter.com/hik0107 ※最適化の問題によっては初期値の値によって結果が変わることがありますが、ここでは適当で大丈夫です。, 最適な重みが発見されました。 不思議なものが出てきました. まず結論のコードから見てしまいましょう。, 以上です。すごく簡単ですよね? Help us understand the problem. plt. かなり激しく差分化しているのでとってもメモリを食います. つまり、 $g(x,y) = 5x_i + 3y_i -1$ として、 $g(x, y) >0 ⇛ c=1$ 、$g(x, y) < 0 ⇛ c=0$ となるようにします。, ここが上記で定義した $ 5x + 3 y = 1 $の線になっています。 aが1より大きく3以下の時に1-(1/a)あたりに収束 これくらい粗い絵でも自己相似の意味は理解していただけると思います. ロジスティック方程式 また、モデルは2個ではなく無数に考えられる可能性の中から一番良い物を探します。, おそらくこの点で疑問はたくさんあると思います。 ここで、今回定義した分離面が$ 5x + 3 y = 1 $ であったことを思い出してください。 これが初期値鋭敏性です. ぐっちゃぐちゃかと思いきや, 最後は2つが仲良く衝突しながら吹っ飛んでいき, 残りの1つはひとりで反対側に飛び去ります. odeintについては ※ $p_3$は0.2ポイントではないことに注意, このやり方で、$M_1$と$M_2$の得点を比べれば『どちらがいいモデルかが比較できる』というやり方です。, 実際にはN点のデータで予測する場合は$p_1, p_2 ...p_N$の予測の掛け合わせになります。 ブログを報告する, Recipe 577332: Bifurcation diagram of logistic map (Python), Long Short-Term Memory Networks With Python, Freesound General-Purpose Audio Tagging Challenge. これはデータ自体が、分離面の上下で c= 1 or 0 がはっきり別れたようなデータだったからです。, 言葉通り、白黒はっきり というやつです。 それぞれのモデルは、この3つの点が1(黒)である確率を次のように予想しました。 適当な$n$まで回してあげて, $a^2 + b^2 < 4$を発散しない条件としています. 微分方程式の定義が面倒ですが, それ以外はシンプルです. カオスとかフラクタルとかって見てるだけで楽しいですよね. フラクタル次元のはなしは面倒なのでスルー. 再掲ですが、あるモデル(= ある重み $w_1,w_2,w_3$)の尤度は下記のように定式化されるので、それをコード化しているだけです。, $ E(w) = ∑- log(L_i) $ 最近はもっぱら物書きは note ⇛ https://note.mu/hik0107. Help us understand the problem. 決定論的であるがしかし, 非常にランダムな振る舞いをする非線形力学系をカオスと呼びます. もちろん手では解けませんが, 漸化式自体は単純そうですね. 二重振り子などが有名です. を用いてX(n)はn代における個体数を表わす値で、aは繁殖率(0から4)を表わします。 もう訳がわかりませんね. 最大化問題を最小化問題に置き換えています > マイナス, Q. どうやって無数に考えられる可能性から一番いいものを探すんだ? Why not register and get more from Qiita? 最後に、パラメータaを横軸にとってそのときの周期的な軌道が取る値(さっきの {0.3828, 0.8269, 0.5009, 0.8750} など)を縦軸にとったグラフを描いてみる。これが有名なロジスティック写像の分岐図。Pythonを使ってちょっと書いてみよう。 dp/dt = -gamma*p + 2*a*x - 4*b*x**3 + F0*cos(omega*t + delta) $M_2 : (p_1,p_2,p_3) = (0.9, 0.1, 0.1)$, 直感的には、 その世界を少しだけ覗いてみましょう. 『統計にそんなに詳しくないけど、機械学習とかのモデルを自分で実装してみたい!』 ①各点(1~3)の予測がどの程度あたっているかを考え 時間があれば調べてみることにします. NumPy・SciPyを用いた数値計算の高速化 : 応用その1 ただ微分するだけなのですが, 符号によく注意してください. ほぼ一致していたと思ったら外れて, 外れたと思ったらまた同じ軌道を描く, という普通の力学系では理解しがたい動きをしています. ''', '''特徴量と重み係数ベクトルを与えると、確率p(c=1 | x,y)を返す関数 ロジスティック写像. 全体として、どの程度よい良い予測かということが言えそうな気がしますね。, $p_1$は $正解:c=1$に対して、0.8と予測しているので、0.8ポイント 尤度(ゆーど)は重みベクトル $w$ をパラメータとして、次のように記述できる, ただし、$c_i= [1 , 0]$を正解として持つある観測点の尤度 $L_i$は次のように定義される。上述のように $p_i$は$w$の関数となっている。, $L_i = c_i log (p_i) +(1-c_i) log(1-p_i) $, なんだか難しそうなことを言っていますが、そんなに難しくありません。 真の解はこちらです. 下に示す分岐図は,縦軸にX n ,横軸にaを取った時,(a, X n)をプロットしたものです. Fig.1 ロジスティック写像の分岐図(0<=a<=4,0<=X n <=1) aが3.5699456(ファイゲンバウム点といいます)を超えたあたりから,カオスな事になっていきます. subplot (1, 2, 1) #2つの図を並べて表示する準備 #データを作成するして、プロットする df_data = make_data (1000) #適当な初期値の重みを設定して、分離面を描画してみる weight_vector = np. この組み合わせを$N点$生成してPandas Data Frameに格納する関数を作りましょう。, $ obs_i = (x_i, y_i, c_i) $ ただし $i = 1,2,3 ....N$, $x_i, y_i$は numpyのモジュール "np.random" で簡単に作ることが出来ます。, $c$に関しては、ある分離線を人為的に定義し、その分離線のどちら側にいるかで割り振ることにします。 系のLagrangeanは. いわゆる, フラクタルのはしりです. 微分方程式を解きます. ''', '''学習用のデータとパラメータの初期値を受け取って、 絶対に一度は思ったことがあるはずです。, とくにPythonでロジスティック回帰を実装したいと思ったことがある人は多いと思います。 じ、自前実装はしたこと無いけど/// な、なんか文句あんの?, 分類の結果を要素($x$とか$y$とか)x その重み $w_1,w_2,w_3$ で表現, you can read useful information later efficiently. 統計に詳しくない方でも無理なく出来るよう、統計の説明➔実装 を1ステップづつ進められるようにしました。, なんでかんで、統計モデルとか機械学習も自分で実装しながら覚えると効率がよかったりします。, データサイエンティストに興味があるならまずこの辺りを見ておきな、って文献・動画のまとめ

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